選擇權的風險值Gamma值是衡量根本契約價格變動所造成Delta值的變動量，通常被稱為選擇權的曲度，是選擇權理論價值相對根本契約價格的第二階偏導函數，它代表Delta值的加速度，也就是說根本契約價格每變動1點所造成Delta值的增加或減少的數量，當根本契約價格上漲1點，則Delta值的增加量是Delta+Gamma，當根本契約價格下跌1點，則Delta值的減少量是Delta-Gamma
假設某選擇權的Delta值=0.5，Gamma值=0.02，若根本契約上漲1點，則Delta的新值為0.5+0.02=0.52，若根本契約下跌1點，則Delta的新值為0.5-0.02=0.48
因此簡單的定義Delta值與Gamma值的關係就是:
Gamma值是標的物每變動1單位(100點)對Delta值的影響
在實務上，由於權利金的組成是內含價值加上時間價值，因此除了Gamma值對Delta值的影響之外，Theta值也會對權利金的變動產生影響
舉例說明：
1．台股指數(S)=7700點，履約價(K)=7800，20天歷史波動率(sigma)=12.5% ，無風險利率(rate)=1.25%
距離到期日還有30天
套入B-S公式計算:
7800Call理論價格=60，7800Put理論價格=145
7800Call- Delta =0.37
7800Put- Delta =-0.63
Gamma=0.00156
Theta=2.5
Vega=7.25
假設5天之後，台指上漲100點到7800點，則Call權利金應為多少？
以Delta-Call=0.37計算100*0.37=37，則Call理論價格為60+37=97
但透過評價模式得到的權利金理論價是90，為甚麼會這樣？
因為實際上計算標的物漲跌若干點，選擇權的權利金跟著變動多少幅度是利用泰勒展開式〔泰勒展開式是B-S模式的前導公式〕來計算的：
公式如下：
dw=theta.dt+rho.drate+vega.dsigma+delta.ds+1/2.gamma.ds^2+....
假設條件一樣，利率和波動率都沒有變動，經過了5天的時間
則
vega.dsigam=0
rho.drate=0
theta.dt=2.5*5=12.5≒13
也就是說，台股指數在5天之後上漲了100點，7800Call履約價權利金的變化是；
delta.ds+1/2.gamma.ds^2-theta.dt
也就是7800Call的權利金會增加
0.37*100+1/2*0.00156*100^2-13=31.8
7800Call的權利金會變成
60+31.8=91.8≒92，接近90的理論價
接著比較加入波動率的變化，對權利金的影響
★波動率上升3%的情況
代入泰勒展開式
dw=theta.dt+rho.drate+vega.dsigma+delta.ds+1/2.gamma.ds^2+....
dw=0.37*100+1/2*0.00156*100^2-13+(7.25*3)=53.55≒54，權利金從原本的增加大約32點，變成增加大約54點
★波動率下跌3%的情況
dw=0.37*100+1/2*0.00156*100^2-13+(7.25*-3)=10.05≒10
7800Call的權利金經過5天，指數上漲100點，波動率下跌3%的情況下，權利金從原本的增加大約30點，變成只增加10點
波動率上升，泰勒展開式的vega.dsigma會因為波動率(sigma)上升而使得權利金跟著上升，波動率下降使得權利金跟著下降
2．比較深價外履約價Call的權利金變化
假設情況條件都相同，8000Call的權利15點，評價履約價8000Call經過5天後的權利金變化(假設波動率不變)
8000Call- Delta =0.124，gamma=0.00085，Theta=1.11，經過5天的Theta值消耗theta.dt=1.1*5=5.5≒6
代入泰勒展開式
0.124*100+1/20.00085*100^2-6
8000Call的權利金就會增加
12.4+0.007-6=6.4007≒6
8000Call的權利金會變成
15+6=21點
從以上的泰勒展開式的運算，我們可以得到以下結論：
選擇權的買方盡量不要執行太價外的履約價，從以上的例子我們看到，指數經過了5天，上漲了100點，履約價7800Call權利金上漲了32點，但深價外履約價8000Call只上漲了6點，若上漲100點的時間再拉長一點的話，則8000Call權利金增加的幅度因為時間價值的消耗而會小於6點，這也是許多以為深價外履約價比較便宜而喜歡使用深價外履約價當作買進標的的投資人發現雖然他的方向研判正確，但交易到最後卻沒有獲利的原因所在。
因此，除非投資人研判波動率可能大幅上揚，或對於行情的時間轉折有把握掌，在行情即將噴出突破或跌破的時間點進場建立買方部位，這樣就可以使用深價外的履約價來建立部位，以提高投資報酬率 ，否則，買方仍然建議以價平或價外1~2檔的履約價為主，而賣方的思考邏輯正好與買方相反
以下是價平附近履約價的權利金排除了時間消逝與波動率變化等因素的影響．在指數1天就上漲100點，則7800Call履約價的權利金就會變成:
delta.ds＋1/2.gamma.ds^2－theta.dt＋vega.dsigma
也就是
0.37*100+1/2*0.00156*100^2-0+0＝37.024
7800Call的權利金就變成
60+37.024=97.024≒97
就與97點的市場價相同了
備註: 公式當中的〔rho.drate〕是股利與股息，是使用在計算股票選擇權的權利金，因為指數選擇權沒有股利與股息，所以略去不討論
本文內容僅供參考，無任何買賣建議，投資人應謹慎評估，風險自負。
